MOS 反型系数与 EKV 模型

反型系数（inversion coefficient）$i$ 用一个无量纲数把 MOS 晶体管的弱反型、中反型和强反型连成一条连续曲线。它既是 Sansen 全书 $g_m/I_D$ 设计法的数学支点，也是 Binkley 优化方法的核心变量。本文综合 Sansen Ch1 MOST与双极型晶体管模型对比 深度解析 §4 与 Binkley Ch3 — MOS性能与反型系数（上），给出统一定义、EKV 插值、跨导效率与设计流程。

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前后关系

前置知识：

• MOS晶体管模型与特性 — 平方律、$g_m$、$r_o$ 的强反型基准
• 短沟道效应与弱反型 — 亚阈值指数导电与速度饱和的物理背景

后续延伸：

• MOS晶体管频率特性与f_T — $f_T$ 随 $i$ 的变化
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — 用 $g_m/I_D$ 统一比较两类器件

外部关联：

• 两级Miller运放设计、运算放大器设计 — 把 $i$ 作为偏置自由度
• Binkley Ch3 — MOS性能与反型系数（下） — 用 $IC$ 做性能优化

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1. 定义：一个无量纲电流

Sansen 把反型系数定义为漏电流与强反型过渡电流之比：

$$i\equiv \frac{I_{DS}}{I_{DSt}}$$

其中

$$I_{DSt}=2n\mu C_{ox}\frac{W}{L}{U}_T^2=K^{\prime }\frac{W}{L}{\left(2n{U}_T\right)}^2,K^{\prime }=\frac{\mu C_{ox}}{2n},U_T=\frac{kT}{q}$$

这里 $n=1+C_D/C_{ox}$ 是亚阈值斜率因子（也称体效应因子），$C_D$ 是沟道下的耗尽层电容。Sansen 采用不含 $1/2$ 的平方律约定：

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{\left(V_{GS}-V_T\right)}^2=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$$

因此 $I_{DSt}$ 恰好是 $V_{GST}=2n{U}_T$ 时的强反型电流。定义过渡电压

$$V_{GSTt}\equiv 2n{U}_T\approx 70\mathrm{mV}(300\mathrm{K},n\approx 1.3\text{-}1.5)$$

$V_{GSTt}$ 与沟道长度 $L$ 无关，这是 Sansen 反复强调的一条尺度不变结论。

与 Binkley 的 $IC$ 完全一致：Binkley 定义 $IC=I_D/[2n\mu C_{ox}(W/L)U_T^2]$，与本文 $i$ 的表达式逐项相同。两者的差别只在记号，不在物理。

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2. EKV 插值：从指数到平方律

EKV 模型用一条对数函数把弱反型和强反型缝合起来：

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2{\left[\ln \left(1+e^v\right)\right]}^2,v=\frac{V_{GST}}{V_{GSTt}}$$

两个极限：

• 弱反型（$v\ll 0$）：$\ln (1+e^v)\approx e^v$，于是

$$I_{DS}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2{e}^{2v}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2\exp \left(\frac{V_{GST}}{n{U}_T}\right)$$

• 强反型（$v\gg 0$）：$\ln (1+e^v)\approx v$，于是

$$I_{DS}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$$

反型系数与归一化栅压 $v$ 的互逆关系为

$$i={\left[\ln \left(1+e^v\right)\right]}^2,v=\ln \left(e^{\sqrt{i}}-1\right)$$

因此

$$V_{GS}-V_T=V_{GSTt}\ln \left(e^{\sqrt{i}}-1\right)$$

当 $i<1$ 时该式给出负的 $V_{GST}$，表示器件已进入弱反型；$i=1$ 时 $V_{GST}=0$；$i>1$ 时 $V_{GST}>0$。

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3. 跨导效率 $g_m/I_D$：反型系数的核心用途

对 EKV 表达式求导，可得精确的归一化跨导效率：

$$\boxed{\frac{g_m}{I_{DS}}=\frac{1}{n{U}_T}\cdot \frac{1-e^{-\sqrt{i}}}{\sqrt{i}}}$$

Sansen 幻灯片还给出一个便于手算的有理拟合：

$$GM\equiv \frac{g_m}{I_{DS}}n{U}_T\approx \frac{1}{1+0.5\sqrt{i}+\sqrt{i}}$$

两个渐近行为（属于精确式）：

$$i\ll 1:GM\approx 1-\frac{\sqrt{i}}{2},i\gg 1:GM\approx \frac{1}{\sqrt{i}}$$

$i$	0.01	0.1	1	10	100
$GM=(1-e^{-\sqrt{i}})/\sqrt{i}$	0.952	0.858	0.632	0.303	0.100
$g_m/I_D$（$n=1.3$, $U_T=26$ mV）	28.2 V${}^{-1}$	25.4 V${}^{-1}$	18.7 V${}^{-1}$	8.97 V${}^{-1}$	2.96 V${}^{-1}$
工作区	深弱反型	弱反型	中反型中心	强反型	深强反型

关键读数：

• 弱反型上限 $g_m/I_D\to 1/(n{U}_T)\approx 25\text{-}30$ V${}^{-1}$，略低于 BJT 的 $1/U_T\approx 38.5$ V${}^{-1}$，差距正是因子 $n$。
• 强反型 $g_m/I_D=2/V_{GST}$，随 $V_{GST}$ 增大而下降；速度饱和区进一步降为 $1/V_{GST}$。
• $i=1$ 不是弱反型的终点，而是两种渐近线的交点（$V_{GST}=0$）。工程上通常把 $i<0.1$ 视为弱反型、$0.1\le i\le 10$ 视为中反型、$i>10$ 视为强反型。

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4. 反型系数与栅过驱动电压

由 $V_{GST}=2n{U}_T\ln (e^{\sqrt{i}}-1)$ 可得以 $n=1.3$、$U_T=26$ mV 计算的对照表：

$i$	0.01	0.1	1	10	100
$V_{GST}$	$-152$ mV	$-67$ mV	0 mV	$+211$ mV	$+676$ mV
近似工作区	深弱反型	弱反型	中反型中心	强反型	深强反型

设计含义：

• 若希望 $g_m/I_D>20$ V${}^{-1}$，应把 $i$ 控制在 1 以下；
• 若希望 $f_T$ 接近工艺上限，应把 $i$ 推到 10 以上，但 $g_m/I_D$ 会降到 10 V${}^{-1}$ 以下；
• 低电压设计常取 $i\approx 1\text{-}3$，在 $g_m/I_D$ 与 $V_{DSsat}=V_{GST}$ 之间折中。

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5. $f_T$ 随反型系数的变化

Sansen 把过渡频率也写成 $i$ 的函数：

$$\frac{f_T}{f_{TH}}=\sqrt{i}\left(1-e^{-\sqrt{i}}\right),f_{TH}=\frac{I_{DSt}}{2\pi C_{GS}n{U}_T}=\frac{3\mu U_T}{2\pi L^2}$$

其中 $C_{GS}=\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$。极限行为：

$$i\ll 1:\frac{f_T}{f_{TH}}\approx i,i\gg 1:\frac{f_T}{f_{TH}}\approx \sqrt{i}$$

这说明：弱反型下 $f_T$ 与电流成正比（因为 $g_m\propto I_D$），强反型下 $f_T\propto \sqrt{i}$（因为 $g_m\propto \sqrt{I_D}$）。详细推导与版图寄生见 MOS晶体管频率特性与f_T。

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6. 用 $i$ 做设计：三步法

Step 1：选 $i$。由 $g_m/I_D$ 目标反查：

$$i={\left[\frac{1-e^{-\sqrt{i}}}{(g_m/I_D)n{U}_T}\right]}^2$$

实际使用时直接查上表或第 3 节曲线，不必解析求解。

Step 2：算 $W/L$。由 $I_D=i{I}_{DSt}$ 得

$$\frac{W}{L}=\frac{I_D}{2n\mu C_{ox}{U}_T^{2}i}$$

Step 3：选 $L$。$L$ 不影响 $i$ 与 $g_m/I_D$，但决定 $f_T$、$r_o$ 与匹配。速度饱和边界为 $V_{GST}\approx 5L$（$L$ 以 $\mu$m 计，详见 短沟道效应与弱反型）。

数值例：$I_D=10\mu$A，$i=1$，$n=1.3$，$\mu C_{ox}=200\mu$A/V${}^2$，$U_T=26$ mV。

$$I_{DSt}/\frac{W}{L}=2\times 1.3\times 200\times 10^{-6}\times (0.026{)}^2\approx 3.52\times 10^{-7}\mathrm{A}$$ $$\frac{W}{L}=\frac{10\times 10^{-6}}{3.52\times 10^{-7}\times 1}\approx 28.4$$

此时 $g_m/I_D\approx 18.7$ V${}^{-1}$，$V_{GST}\approx 0$，属于中反型中心。

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7. 与其他教材定义的对齐

来源	强反型电流约定	反型系数定义	备注
Sansen	$I_D=K^{\prime }(W/L)V_{GST}^2$，$K^{\prime }=\mu C_{ox}/(2n)$	$i=I_D/I_{DSt}$，$I_{DSt}=2n\mu C_{ox}(W/L)U_T^2$	本章采用
Binkley	$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}(W/L)V_{GST}^2$	$IC=I_D/[2n\mu C_{ox}(W/L)U_T^2]$	与 Sansen 的 $i$ 相同
Gray/Razavi	$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}(W/L)V_{GST}^2$	通常不显式使用 $i$	强反型近似
EKV 原始文献	电荷基插值	$i=I_D/I_S$	$I_S$ 的定义含 $2n$ 因子

易错点：Sansen 的 $K^{\prime }$ 与 Gray/Razavi 的 $\frac{1}{2}\mu C_{ox}$ 数值接近但含义不同；代入数值前必须先确认约定，否则 $W/L$ 会差约 2 倍。

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8. 常见误区

1. 把 $i=1$ 当作弱反型/强反型的分界线。$i=1$ 只是 $V_{GST}=0$ 与两条渐近线的交点；工程分区通常取 $i=0.1$ 与 $i=10$。
2. 认为 $V_{GSTt}=70$ mV 随 $L$ 变化。它只随 $n$ 与温度变化，与 $L$ 无关。
3. 把 $g_m/I_D$ 的最大值当作 $1/U_T$。MOS 的极限是 $1/(n{U}_T)$，比 BJT 低 $n$ 倍。
4. 忽略速度饱和。当 $V_{GST}\gtrsim 5L$ 时，$g_m/I_D$ 从 $2/V_{GST}$ 降为 $1/V_{GST}$，EKV 的强反型渐近线不再准确。

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参考文献

1. W. Sansen, Analog Design Essentials, Springer, 2006, Chapter 1.
2. C. C. Enz, F. Krummenacher, E. A. Vittoz, “An Analytical MOS Transistor Model Valid in All Regions of Operation and Dedicated to Low-Voltage and Low-Current Applications,” Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 8, pp. 83–114, 1995.
3. J. C. Cunha et al., “A Current-Based MOSFET Model for Integrated Circuit Design,” IEEE JSSC, Oct. 1998, pp. 1510–1519.
4. D. M. Binkley, Tradeoffs and Optimization in Analog CMOS Design, Wiley, 2008, Chapter 3.
5. Y. Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor, 2nd ed., McGraw-Hill, 2004.

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双向链接

本文链接到

• MOS晶体管模型与特性 — 平方律与小信号基准
• 短沟道效应与弱反型 — 亚阈值与速度饱和
• MOS晶体管频率特性与f_T — $f_T/f_{TH}$ 的完整推导
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — $g_m/I_D$ 的器件对比
• Binkley Ch3 — MOS性能与反型系数（上）
• Binkley Ch3 — MOS性能与反型系数（下）
• Sansen Ch1 MOST与双极型晶体管模型对比 深度解析

链接到本文

• MOS晶体管模型与特性 — 强反型补充
• 短沟道效应与弱反型 — 中反型过渡
• 两级Miller运放设计 — 偏置点选择