MOS 晶体管频率特性与 $f_T$

过渡频率 $f_T$ 是晶体管电流增益降到 1 的频率，也是模拟设计中最常用的速度指标。它由 $g_m/C_{GS}$ 决定，因而同时受偏置点（反型系数）、沟道长度、速度饱和与版图寄生控制。本文基于 Sansen Ch.1 §5-§6，给出从电容网络到 $f_T$、$f_{max}$ 的完整设计视角。

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前后关系

前置知识：

• MOS晶体管模型与特性 — $g_m$、$C_{GS}$、$C_{GD}$ 的定义
• 短沟道效应与弱反型 — 速度饱和与 $g_{msat}$
• MOS反型系数与EKV模型 — $i$ 与 $g_m/I_D$

后续延伸：

• 射频放大器与LNA设计 — 用 $f_T$ 估算源极退化电感
• 宽带放大器技术 — 用 $f_T$ 判断节点带宽上限
• 采样开关与跟踪保持电路 — 开关导通电阻与寄生电容的带宽折中

外部关联：

• 两级Miller运放设计 — $GBW=g_m/(2\pi C_c)$ 与 $f_T$ 的关系
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — 两类器件的速度对比

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1. 电容网络：$f_T$ 的分母

Sansen 把 MOS 的本征电容归纳为四类：

电容	表达式	物理来源	典型量级
$C_{GS}$	$\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$	沟道反型层电荷	$L=L_{min}$ 时约 $2\mathrm{fF}/\mu m$ 栅宽
$C_{GD}$	$W{C}_{gdo}$	栅-漏覆盖	由工艺覆盖长度决定
$C_{SB}$	$C_{jSB0}/\sqrt{1+V_{SB}/{\varphi }_{jS}}$	源-衬底结电容	${\varphi }_{jS}\approx 0.5\text{-}0.7$ V
$C_{DB}$	$C_{jDB0}/\sqrt{1+V_{DB}/{\varphi }_{jD}}$	漏-衬底结电容	与漏端摆幅相关

其中

$$C_{ox}=\frac{{ϵ}_{ox}}{t_{ox}},C_{GS}\approx \frac{2}{3}WL{C}_{ox}$$

在 $L=L_{min}$ 时，Sansen 给出便于手算的经验值：

$$\frac{C_{GS}}{W}\approx 2\mathrm{fF}/\mu m$$

$C_{GD}$ 是 Miller 反馈与高频反向隔离的关键；在 RF 模型中还要把分布栅电阻拆成 $R_G/3$ 与 $C_G/5$ 的网络（见 §5）。

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2. $f_T$ 的定义与推导

定义：共源极短路电流增益 $|i_{DS}/i_{GS}|=1$ 时的频率。

$$i_{GS}=v_{GS}s{C}_{GS},i_{DS}=g_m{v}_{GS}$$

令 $|i_{DS}/i_{GS}|=1$，得

$$f_T=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}$$

代入强反型 $g_m=2K^{\prime }(W/L)V_{GST}$ 与 $C_{GS}=\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$：

$$f_T=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{3}{2n}\cdot \frac{\mu V_{GST}}{L^2}$$

Sansen 常把它简写为

$$f_T\approx \frac{\mu V_{GST}}{2\pi L^2}$$

在速度饱和区，$g_m$ 饱和为 $W{C}_{ox}{v}_{sat}$，于是

$$f_{Tsat}=\frac{v_{sat}}{2\pi L}$$

这就是 $f_T$ 的物理上限：再增大 $V_{GST}$ 也不会提高 $f_T$，只会增大功耗。

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3. 三段式 $f_T$-$L$ 关系

区域	条件	$f_T$ 标度	设计含义
强反型/平方律	$V_{GST}\ll 5L$	$f_T\propto V_{GST}/L^2$	增大 $V_{GST}$ 或缩短 $L$ 都能提速
速度饱和	$V_{GST}\gg 5L$	$f_T=v_{sat}/(2\pi L)$	只由 $L$ 与 $v_{sat}$ 决定
弱反型	$i\ll 1$	$f_T\propto I_D/L^2$	低功耗下速度随电流线性下降

Sansen 的经验拟合（$L$ 以 $\mu$m 计，$f_T$ 以 GHz 计）为

$$f_T\approx \frac{13.5}{L}\cdot \frac{1}{1+2.8L/V_{GST}}$$

该式在 $L=0.13\mu$m、$V_{GST}=0.2$ V 时给出约 37 GHz，与 $f_{Tsat}=v_{sat}/(2\pi L)\approx 122$ GHz 相比偏保守，原因是它同时包含了迁移率退化与寄生电容。

速度饱和接管点：

$$V_{GSTvs}\approx \frac{2n{v}_{sat}}{\mu }L\approx 5L$$

• $V_{GST}=0.2$ V 时，$L<65$ nm 即进入速度饱和；
• $V_{GST}=0.5$ V 时，$L<0.15\mu$m 即进入速度饱和。

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4. $f_T$ 随反型系数的变化

用 EKV 插值可把 $f_T$ 写成 $i$ 的函数：

$$\frac{f_T}{f_{TH}}=\sqrt{i}\left(1-e^{-\sqrt{i}}\right),f_{TH}=\frac{I_{DSt}}{2\pi C_{GS}n{U}_T}=\frac{3\mu U_T}{2\pi L^2}$$

$i$	0.01	0.1	1	10	100
$f_T/f_{TH}$	0.00952	0.0858	0.632	3.03	10.0

极限行为：

$$i\ll 1:f_T\approx i{f}_{TH},i\gg 1:f_T\approx \sqrt{i}{f}_{TH}$$

这解释了低功耗设计的基本矛盾：把 $i$ 从 10 降到 0.1，$g_m/I_D$ 提高约 2.8 倍，但 $f_T$ 下降约 35 倍。

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5. $f_{max}$ 与 RF 模型

$f_T$ 只说明电流增益，不能说明功率增益。最大振荡频率 $f_{max}$ 还受栅电阻与反馈电容限制。常用近似为

$$f_{max}\approx \sqrt{\frac{f_T}{8\pi R_G{C}_{GD}}}$$

Sansen 的 RF MOST 模型把分布栅电阻写成 $R_G/3$、栅电容写成 $C_G/5$ 的梯形网络，以反映实际版图中栅极沿宽度方向的分布效应。幻灯片另给出含体-漏耦合的简化式

$$f_m\approx \frac{f_T}{\sqrt{1+{\alpha }_{BD}}}$$

其中 ${\alpha }_{BD}$ 为体-漏耦合比。工程上应优先用 $f_{max}$ 而不是 $f_T$ 评价功率增益与 LNA 噪声匹配。

降低 $R_G$ 的手段：

• 多指栅（multi-finger）并联；
• 双端栅接触（double-side gate contact）；
• 增加栅接触孔数量；
• 在版图中避免窄长栅条。

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6. 栅极漏电：$f_T$ 之外的另一个高频限制

对于 $t_{ox}\approx 2$ nm 的 0.1 $\mu$m CMOS，栅极隧穿电流密度约为

$$J_G\approx 4.5\times 10^5\exp \left(-\frac{L[\mathrm{nm}]}{6.5}\right)A/c{\mathrm{m}}^2$$

• $L=0.1\mu$m、$t_{ox}=2$ nm：$J_G\approx 4\times 10^{-2}A/c{\mathrm{m}}^2$（按拟合式在 $L=100$ nm 时约 $9\times 10^{-2}A/c{\mathrm{m}}^2$，与原文示例同量级）；
• $10\mu$m $\times$ $0.5\mu$m 的器件：$I_G\approx 2$ nA。

栅漏电不直接影响 $f_T$ 的小信号定义，但会：

• 增大输入电导，降低 $f_{max}$；
• 在采样开关中引入直流误差；
• 在低功耗电路中成为静态功耗来源。

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7. 设计折中与数值例

7.1 三个自由度的权衡

变量	$f_T$	$g_m/I_D$	本征增益 $g_m{r}_o$	匹配
$L\downarrow$	↑（$\propto 1/L^2$ 或 $1/L$）	不变	↓	↓
$V_{GST}\uparrow$	↑	↓	↓	—
$W\uparrow$	不变（$g_m/C_{GS}$ 不变）	不变	不变	↑

结论：速度与增益的矛盾主要通过 $L$ 与 $V_{GST}$ 解决，而不是通过 $W$。

7.2 数值例：65 nm NMOS 的 $f_T$

取 $L=0.1\mu$m，$\mu =500$ cm${}^2$/V·s，$V_{GST}=0.2$ V，$n=1.3$。

平方律估计：

$$f_T=\frac{3\mu V_{GST}}{4\pi n{L}^2}=\frac{3\times 500\times 0.2}{4\pi \times 1.3\times (10^{-5}{)}^2}\approx 1.84\times 10^{11}\mathrm{Hz}$$

速度饱和上限：

$$f_{Tsat}=\frac{v_{sat}}{2\pi L}=\frac{10^7}{2\pi \times 10^{-5}}\approx 1.59\times 10^{11}\mathrm{Hz}$$

两者取小，$f_T\approx 159$ GHz。这说明在 0.1 $\mu$m 节点，$f_T$ 已由速度饱和而非平方律决定。

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8. 常见误区

1. 把 $f_T$ 当作最大工作频率。$f_T$ 是电流增益为 1 的频率；实际放大器还受 $f_{max}$、负载电容与反馈限制。
2. 忽略 $C_{GD}$。在共源级中 $C_{GD}$ 被 Miller 倍增，可能成为输入极点的主因。
3. 认为增大 $W$ 能提高 $f_T$。$g_m$ 与 $C_{GS}$ 同比例增大，$f_T$ 基本不变；增大 $W$ 改善的是匹配与噪声，不是速度。
4. 在速度饱和区继续增大 $V_{GST}$。$g_m$ 已饱和，$f_T$ 不再上升，只会增大 $V_{DSsat}$ 与功耗。
5. 忽略栅漏电。在 2 nm 栅氧下，$I_G$ 可能主导低功耗电路的静态电流。

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参考文献

1. W. Sansen, Analog Design Essentials, Springer, 2006, Chapter 1, slides 159–172.
2. Y. Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor, 2nd ed., McGraw-Hill, 2004.
3. T. H. Lee, The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits, 2nd ed., Cambridge University Press, 2004.
4. C. C. Enz, E. A. Vittoz, Charge-Based MOS Transistor Modeling, Wiley, 2006.

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双向链接

本文链接到

• MOS晶体管模型与特性 — $g_m$ 与电容基准
• 短沟道效应与弱反型 — 速度饱和
• MOS反型系数与EKV模型 — $f_T/f_{TH}$
• 射频放大器与LNA设计 — $f_T$ 与源极退化
• 宽带放大器技术 — 带宽上限
• Sansen Ch1 MOST与双极型晶体管模型对比 深度解析 §5-§6

链接到本文

• MOS晶体管模型与特性 — 高频补充
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — 速度对比