Sansen Ch1 MOST与双极型晶体管模型对比 深度解析

Sansen Ch.1：MOST 与双极型晶体管模型对比

来源：W. Sansen, Analog Design Essentials, Springer, 2006, Chapter 1（授课讲义 90 页，幻灯片编号 011–0191）。

本章定位：全书器件基础章。Sansen 不追求 BSIM 级的完整建模，而是提炼出可手算、可设计的“单页模型”：MOST 的三区（弱反型 wi / 强反型 si / 速度饱和 vs）、双极型的指数模型，以及两者在 $g_m/I$、本征增益、最低电压与 $f_T$ 上的对比。后续 Ch.2–Ch.24 的运放、噪声、失真、滤波器设计都建立在本章公式之上。

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章节结构

部分	幻灯片	主题	核心产出
器件与工艺	011–0120	MOST 版图、$C_{ox}/C_D$、N-well CMOS、大信号 I-V、体效应	$C_{ox}$、$C_D$、$R_{on}$、$V_T(V_{BS})$
MOST 小信号	0121–0130	$g_m$、$r_{DS}$、本征增益、pMOST、$g_{mb}$	单管增益 $A_v=2V_{E}L/V_{GST}$
弱反型–强反型	0131–0141	wi 指数区、过渡电压、EKV、反型系数 $i$、$GM$	$V_{GSTt}=2n{U}_T$、$g_m/I_D$ 连续谱
速度饱和	0143–0158	vs 区、$\theta$ 模型、$R_S$ 等效、过渡点、栅漏电	$V_{GSTvs}\approx 5L$、$g_{msat}=W{C}_{ox}{v}_{sat}$
电容与 $f_T$	0159–0172	$C_{GS}/C_{GD}/C_{SB}/C_{DB}$、$f_T$、$f_{max}$、RF 模型	$f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$、$f_{Tsat}=v_{sat}/(2\pi L)$
双极型模型	0173–0182	NPN/横向 PNP、$I_{CE}$、$g_m$、$C_{\pi }/C_{\mu }$、${\tau }_F$、$f_T$	BJT 单页模型
器件对比	0183–0188	$g_m/I$、$V_{DSsat}$、本征增益、设计自由度	MOST vs Bipolar 决策表

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0. 符号、约定与单位

Sansen 全书使用一套不含 $1/2$ 的平方律约定，与 Gray/Razavi 的 $\frac{1}{2}\mu C_{ox}$ 写法数值接近但含义不同，代入数值前必须确认。

符号	定义	说明
$V_{GST}$	$V_{GS}-V_T$	栅过驱动电压
$U_T$	$kT/q$	热电压，300 K 时 25.9–26 mV
$n$	$1+C_D/C_{ox}$	亚阈值斜率因子，1.2–1.5
$K^{\prime }$	$\mu C_{ox}/(2n)$	Sansen 的跨导因子
$\beta$	$KP\cdot W/L=\mu C_{ox}W/L$	器件增益因子
$V_E$	单位长度的 Early 电压	nMOS 4–5 V/$\mu$m，pMOS 8 V/$\mu$m
$v_{sat}$	载流子饱和速度	$10^7$ cm/s

强反型电流：

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2=\frac{\mu C_{ox}}{2n}\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$$

线性区（小 $V_{DS}$）：

$$I_{DS}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}\left(2V_{GST}{V}_{DS}-V_{DS}^2\right)$$

当 $V_{DS}\ll V_{GST}$ 时，MOS 等效为一个电阻：

$$R_{on}=\frac{1}{K^{\prime }\frac{W}{L}\cdot 2V_{GST}}\approx \frac{1}{KP\frac{W}{L}{V}_{GST}}$$

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1. 器件几何与工艺（Slides 011–0111）

1.1 MOST 版图与沟道

Sansen 用一张俯视图定义 MOST 的几何：p 型衬底上做两个 n+ 扩散区（源、漏），中间夹多晶硅栅；栅下薄氧化层形成沟道，沟道长度 $L$ 由栅定义，宽度 $W_M$ 由扩散区宽度定义。源/漏扩散区与栅之间存在横向覆盖（overlap），产生 $C_{GD}$ 与 $C_{GS}$ 的覆盖分量。

关键几何参数：

参数	含义	影响
$L$	栅下沟道长度	$f_T$、$r_o$、速度饱和
$W$	沟道宽度	$g_m$、噪声、匹配
$L_{ov}$	栅-源/漏覆盖长度	$C_{GD}$、$C_{GS}$
$t_{ox}$	栅氧厚度	$C_{ox}$、栅漏电

1.2 栅氧电容与耗尽层电容

栅氧电容：

$$C_{ox}=\frac{{ϵ}_{ox}}{t_{ox}}$$

沟道下的耗尽层电容：

$$C_D=\frac{{ϵ}_{si}}{t_{si}},t_{si}=\sqrt{\frac{2{ϵ}_{si}\left(\varphi -V_{BD}\right)}{q{N}_B}}$$

Sansen 用 $n$ 把两者连起来：

$$n=1+\frac{C_D}{C_{ox}},C_D=(n-1)C_{ox}$$

0.35 $\mu$m 工艺数值例（Slide 0110）：

参数	数值
$L$	0.35 $\mu$m
$W/L$	8
$t_{ox}$	7 nm（$\approx L_{min}/50$）
$C_{ox}$	$\approx 5\times 10^{-7}$ F/cm${}^2$（约 5 fF/$\mu$m${}^2$）
$C_D$	$\approx 1\times 10^{-7}$ F/cm${}^2$（约 1 fF/$\mu$m${}^2$）
$n$	$\approx 1.2$
$t_{si}$	$\approx 0.1\mu$m（$V_{BD}=-3.3$ V）

设计含义：$C_D/C_{ox}\approx 0.2$ 意味着 $n\approx 1.2$。$n$ 越接近 1，亚阈值斜率越陡、$g_m/I_D$ 越高；但 $n$ 由工艺（掺杂、氧化层厚度）决定，设计者只能通过偏置与尺寸间接影响。

1.3 N-well CMOS 剖面

Sansen 用 N-well CMOS 说明 PMOS 与 NMOS 的共存：PMOS 做在 N 阱中，NMOS 做在 p 衬底上；两者都用多晶硅栅与薄栅氧。N 阱既是 PMOS 的 body，也是 NMOS 的衬底隔离的一部分。该结构带来：

• PMOS 的 body 可独立接源（消除体效应）；
• NMOS 的 body 通常接最低电位（体效应显著）；
• 阱电容、闩锁（latch-up）等寄生效应对模拟设计的影响。

1.4 工艺趋势与成本

Sansen 用四张图说明“为什么 MOS 是主流”：

Slide	图	坐标/数据	结论
013	1994–2000 技术分布	纵轴频率 1–100 GHz，横轴 CMOS/BiCMOS/BIP/GaAs	CMOS 覆盖数字与低频模拟，BiCMOS/GaAs 覆盖 RF
014	SIA roadmap	年份 1995–2010，$L_{min}$ 0.35→0.065 $\mu$m，晶体管数 4M→90M，时钟 300→1100 MHz	特征尺寸与集成度持续缩放
015	Moore 定律	纵轴 $L$（$\mu$m，对数），横轴 1980–2005	每代约 0.7× 缩小
016	ISSCC 2005 论文分布	横轴 $L_{min}$ 350/250/180/130/90/65 nm，纵轴论文数 0–40	数字集中在 130–90 nm，模拟/RF 分布更宽
017	MPW 成本	双对数，横轴 100–1000 nm，纵轴 100–10000 $/{\mathrm{mm}}^2$	65 nm 以下掩模成本急剧上升

设计含义：工艺缩放让 $L$ 变小、$f_T$ 变高，但也让 $V_{DD}$、本征增益、匹配与掩模成本恶化。Ch.1 的三区模型正是为“在缩放中选偏置”提供依据。

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2. MOST 大信号模型（Slides 0112–0120）

2.1 输出特性：线性区与饱和区

以 NMOS 为例，$I_{DS}$ 随 $V_{DS}$ 先线性上升，后在 $V_{DS}=V_{GST}$ 处进入饱和。Sansen 的饱和电流为

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2\left(1+\lambda V_{DS}\right),\lambda =\frac{1}{V_{E}L}$$

线性区等效电阻（$V_{DS}\to 0$）：

$$R_{on}=\frac{1}{K^{\prime }\frac{W}{L}\cdot 2V_{GST}}$$

模拟开关示例（Slide 0116）：用 NMOS 把 0.6 V 传到 $C_L=4$ pF，要求时间常数 $\tau =0.5$ ns。

$$R_{on}=\frac{\tau }{C_L}=\frac{0.5\mathrm{ns}}{4\mathrm{pF}}=125\Omega$$

再由 $R_{on}$ 反算 $W/L$：

$$\frac{W}{L}=\frac{1}{K^{\prime }\cdot 2V_{GST}\cdot R_{on}}$$

模拟开关示例（Slide 0117）：驱动 $R_L=5$ k$\Omega$，$W/L=8$，$V_{DD}=2.5$ V，$V_T=0.5$ V。Sansen 给出 $R_{on}=125\Omega$（$V_{BS}=0$），则

$$\frac{v_{OUT}}{v_{IN}}=\frac{R_L}{R_L+R_{on}}=\frac{5000}{5125}\approx 0.976$$

即开关引入约 2.4% 的增益误差。若 $R_{on}$ 随 $V_{BS}$ 增大而上升，误差会进一步恶化（见 §2.2）。

2.2 体效应与寄生 JFET

当源-衬底反偏 $V_{BS}<0$ 时，耗尽层变宽，$C_D$ 减小，阈值电压上升：

$$V_T=V_{T0}+\gamma \left(\sqrt{\left|2{\Phi }_F\right|+V_{BS}}-\sqrt{\left|2{\Phi }_F\right|}\right)$$

其中

$$n=1+\frac{C_D}{C_{ox}},\gamma =\frac{\sqrt{2q{ϵ}_{si}{N}_B}}{C_{ox}},\left|2{\Phi }_F\right|\approx 0.6\mathrm{V}$$

Sansen 给出的典型值：$n=1.2\text{-}1.5$，$\gamma =0.5\text{-}0.8{\mathrm{V}}^{1/2}$。体效应可等效为一个寄生 JFET：栅极是 MOS 的栅，源/漏是 JFET 的沟道，衬底是 JFET 的栅。

设计含义：

• 源跟随器、传输门、差分对的源端不接地时，$V_T$ 随输入信号变化，产生非线性；
• 深 N 阱工艺可把 NMOS 的 body 独立引出，缓解体效应；
• 在模拟开关中，$V_{BS}$ 随信号变化会让 $R_{on}$ 非线性，产生失真。

2.3 参数汇总

参数	nMOS	pMOS	说明
$\mu$	600 cm${}^2$/V·s	250 cm${}^2$/V·s	0.35 $\mu$m
$t_{ox}$	7 nm	7 nm	$L_{min}/50$
$C_{ox}$	$5\times 10^{-7}$ F/cm${}^2$	同左	${ϵ}_{ox}/t_{ox}$
$KP=\mu C_{ox}$	$\approx 300\mu$A/V${}^2$	$\approx 120\mu$A/V${}^2$
$K^{\prime }=KP/(2n)$	$\approx 100\mu$A/V${}^2$	$\approx 40\mu$A/V${}^2$
$V_E$	4–5 V/$\mu$m	8 V/$\mu$m
$v_{sat}$	$10^7$ cm/s	$10^7$ cm/s

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3. MOST 小信号模型（Slides 0121–0130）

3.1 跨导 $g_m$

由 $I_{DS}=K^{\prime }(W/L)V_{GST}^2$ 求导：

$$g_m=\frac{\partial I_{DS}}{\partial V_{GS}}=2K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}=2\sqrt{K^{\prime }\frac{W}{L}{I}_{DS}}=\frac{2I_{DS}}{V_{GST}}$$

三个等价形式分别对应三种设计入口：

• 已知 $V_{GST}$：$g_m=2K^{\prime }(W/L)V_{GST}$；
• 已知 $I_{DS}$：$g_m=2\sqrt{K^{\prime }(W/L)I_{DS}}$；
• 已知 $g_m/I_D$：$g_m=2I_{DS}/V_{GST}$。

3.2 输出电阻 $r_{DS}$

由沟道长度调制：

$$r_{DS}=r_o=\frac{V_{E}L}{I_{DS}},\lambda =\frac{1}{V_{E}L}$$

数值例：$L=1\mu$m，$I_{DS}=100\mu$A，$V_E=4$ V/$\mu$m：

$$r_o=\frac{4\times 1}{100\times 10^{-6}}=40\mathrm{k\Omega }$$

3.3 单管本征增益

$$A_v=g_m{r}_o=\frac{2K^{\prime }(W/L)V_{GST}\cdot V_{E}L}{K^{\prime }(W/L)V_{GST}^2}=\frac{2V_{E}L}{V_{GST}}$$

数值例：$V_{E}L\approx 10$ V，$V_{GST}\approx 0.2$ V：

$$A_v\approx \frac{20}{0.2}=100$$

设计含义：

• 高增益：$L$ 大、$V_{GST}$ 小（0.2 V）；
• 高速度：$L$ 小、$V_{GST}$ 大（0.5 V）；
• $V_{GST}$ 同时决定 $g_m/I_D$ 与 $V_{DSsat}$，是 MOS 设计的核心自由度。

三级放大器例题（Slide 0127）：三级单管级联，总增益 10,000，每级增益

$$A_{v1}=\sqrt[3]{10000}\approx 21.5$$

在 65 nm CMOS、$V_E=4$ V/$\mu$m、$V_{GST}=0.2$ V 下：

$$L=\frac{A_{v1}{V}_{GST}}{2V_E}=\frac{21.5\times 0.2}{2\times 4}\approx 0.54\mu m$$

即每级沟道长度至少约 0.54 $\mu$m（远大于 65 nm 的最小尺寸），才能在给定偏置下达到目标增益。

3.4 pMOST 与 $g_{mb}$

pMOST 的小信号模型与 nMOS 拓扑相同，但电压/电流方向相反：源极接高电位，漏极接低电位，$g_m{v}_{GS}$ 的参考方向从源指向漏。Sansen 用一张单独的 pMOST 模型提醒读者：符号约定比公式本身更容易出错。

体效应跨导：

$$g_{mb}=\frac{\partial I_{DS}}{\partial V_{BS}}=\frac{C_D}{C_{ox}}{g}_m=(n-1)g_m$$

因此体效应跨导与本征跨导之比只由工艺比 $C_D/C_{ox}$ 决定，约 0.2–0.5。

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4. 弱反型到强反型：三区连续模型（Slides 0131–0141）

4.1 弱反型（wi）：指数导电

当 $V_{GS}<V_T$ 时，沟道处于弱反型，电流由扩散主导，行为类似 BJT：

$$I_{DSwi}=I_{D0}\frac{W}{L}\exp \left(\frac{V_{GS}}{n{U}_T}\right)$$

跨导：

$$g_{mwi}=\frac{I_{DSwi}}{n{U}_T}$$

亚阈值斜率：

$$S=n{U}_T\ln 10\approx 60\text{-}100mV/dec$$

关键性质：

• $g_m/I_D=1/(n{U}_T)$，是 MOS 的最大跨导效率；
• $I_D$ 与 $V_{GS}$ 呈指数关系，线性度差，但适合低功耗、高增益；
• $f_T$ 随电流下降而下降（见 §6）。

4.2 弱反型–强反型过渡

强反型：

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2,\frac{g_m}{I_{DS}}=\frac{2}{V_{GST}}$$

令两种区的 $g_m/I_D$ 相等：

$$\frac{1}{n{U}_T}=\frac{2}{V_{GSt}-V_T}$$

得到过渡过驱动电压：

$$\boxed{V_{GSt}-V_T=2n{U}_T\approx 70\mathrm{mV}}$$

关键结论：过渡点与沟道长度 $L$ 无关，只随 $n$ 与温度变化。Sansen 在 Slide 0134 强调：这条结论“在未来若干年仍然成立”。

对应的过渡电流：

$$I_{DSt}=K^{\prime }\frac{W}{L}{\left(2n{U}_T\right)}^2$$

原文给出 $W/L=10$ 时 $I_{DSt}\approx 2\mu$A。若按 $K_n^{\prime }\approx 100\mu$A/V${}^2$、$2n{U}_T\approx 70$ mV 重算，结果约 $4.9\mu$A；两者差异来自原文对 $K^{\prime }$、$n$ 与 $W/L$ 的取整。设计时应以实际工艺参数重算，不要直接套用 2 $\mu$A。

4.3 EKV 平滑插值

EKV 模型用一条对数函数把 wi 与 si 连续连接：

$$I_{DS}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2{\left[\ln \left(1+e^v\right)\right]}^2,v=\frac{V_{GST}}{V_{GSTt}},V_{GSTt}=2n{U}_T$$

两个极限：

$$v\ll 0:I_{DS}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2{e}^{2v}=K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GSTt}^2\exp \left(\frac{V_{GST}}{n{U}_T}\right)$$ $$v\gg 0:I_{DS}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$$

4.4 反型系数 $i$

定义：

$$i\equiv \frac{I_{DS}}{I_{DSt}}$$

与归一化栅压 $v$ 的互逆关系：

$$i={\left[\ln \left(1+e^v\right)\right]}^2,v=\ln \left(e^{\sqrt{i}}-1\right)$$ $$V_{GS}-V_T=2n{U}_T\ln \left(e^{\sqrt{i}}-1\right)$$

区域划分（工程约定）：

区域	$i$	$V_{GST}$（$n=1.3$）	$g_m/I_D$	典型用途
深弱反型	$i<0.1$	$<-67$ mV	$>25$ V${}^{-1}$	超低功耗、高增益
弱反型	$0.1\le i<1$	$-67$–0 mV	19–25 V${}^{-1}$	低功耗 OTA
中反型	$1\le i\le 10$	0–211 mV	9–19 V${}^{-1}$	低电压、折中
强反型	$10<i<100$	211–676 mV	3–9 V${}^{-1}$	高速、高线性
深强反型/速度饱和	$i>100$	$>676$ mV	$<3$ V${}^{-1}$	开关、驱动

注意：$i=1$ 是两条渐近线的交点（$V_{GST}=0$），不是弱反型的硬边界。工程上把 $0.1$ 与 $10$ 作为分区边界更实用。

4.5 跨导效率 $GM$

精确式（EKV 求导）：

$$\frac{g_m}{I_{DS}}=\frac{1}{n{U}_T}\cdot \frac{1-e^{-\sqrt{i}}}{\sqrt{i}}$$

Sansen 的有理拟合：

$$GM\equiv \frac{g_m}{I_{DS}}n{U}_T\approx \frac{1}{1+0.5\sqrt{i}+\sqrt{i}}$$

渐近：

$$i\ll 1:GM\approx 1-\frac{\sqrt{i}}{2},i\gg 1:GM\approx \frac{1}{\sqrt{i}}$$

$i$	0.01	0.1	1	10	100
$GM$（精确）	0.952	0.858	0.632	0.303	0.100
$g_m/I_D$（$n=1.3$）	28.2	25.4	18.7	8.97	2.96 V${}^{-1}$

4.6 设计含义

• 最大 $g_m/I_D$ 在 wi 区，约 $1/(n{U}_T)=25\text{-}30$ V${}^{-1}$；BJT 为 $1/U_T=38.5$ V${}^{-1}$，MOS 低 $n$ 倍。
• 最大 $f_T$ 在 si/vs 区，$i\gg 1$；低功耗与高速不可兼得。
• 中反型 $i\approx 1\text{-}3$ 是低电压设计的甜点：$g_m/I_D$ 仍较高，$V_{DSsat}=V_{GST}$ 只有 0–100 mV。
• 设计流程：先选 $i$（由 $g_m/I_D$ 目标），再算 $W/L$，最后选 $L$（由 $f_T$、$r_o$、匹配决定）。详见 MOS反型系数与EKV模型。

4.7 图表结构化描述

Slide 0132 / 0145：$g_m$ vs $V_{GS}$

• 横轴：$V_{GS}$（0–1.5 V）；纵轴：$g_m$（0–6 mS）。
• 三段：$V_{GS}<V_T$ 指数上升（wi）；$V_T<V_{GS}<V_T+0.5$ V 近似线性（si）；更高 $V_{GS}$ 进入平台（vs），平台高度 $g_{msat}=W{C}_{ox}{v}_{sat}$。
• 图中标注 $V_T$、$V_{GST}=0.2$ V、$0.5$ V 三个位置，对应 wi/si/vs 的典型偏置。

Slide 0135：$\log I_{DS}$ vs $V_{GS}$

• 纵轴对数电流；弱反型段为直线，斜率 $q/(nkT)$；强反型段为抛物线（在 log 轴上呈弯曲）。
• 两条渐近线交于 $V_T+70$ mV，对应 $I_{DSt}$。

Slide 0139：$V_{GS}-V_T$ vs $i$

• 横轴 $i$（对数，0.01–100）；纵轴 $V_{GST}$（-200–500 mV）。
• $i<1$ 时 $V_{GST}<0$（弱反型）；$i=1$ 时过零；$i>10$ 后近似对数上升。
• 图中标出 wi / moderate / si 三段。

Slide 0141：$GM$ vs $i$

• 双对数坐标；$GM$ 从 1（wi）降到 0.1（$i=100$）。
• 三条曲线：指数近似、平方根近似、Sansen 拟合；在中反型区差异最大。

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5. 速度饱和（Slides 0143–0158）

5.1 速度饱和区（vs）

当横向电场超过临界场，载流子速度饱和为 $v_{sat}\approx 10^7$ cm/s，漏电流变为 $V_{GST}$ 的线性函数：

$$I_{DSvs}=W{C}_{ox}{v}_{sat}\left(V_{GS}-V_T\right)$$

跨导：

$$g_{msat}=W{C}_{ox}{v}_{sat}$$

这是 MOS 的绝对最大跨导：再增大 $V_{GS}$ 或 $I_D$，$g_m$ 不再上升。

5.2 $\theta$ 模型：从平方律到速度饱和的平滑过渡

$$I_{DS}=\frac{K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2}{1+\theta V_{GST}}$$

• $V_{GST}\ll 1/\theta$：退化为平方律；
• $V_{GST}\gg 1/\theta$：$I_{DS}\approx \frac{K^{\prime }}{\theta }\frac{W}{L}{V}_{GST}\approx W{C}_{ox}{v}_{sat}{V}_{GST}$。

Sansen 给出：

$$\theta L\approx 0.2\mu m/V⟹\theta \approx \frac{0.2}{L[\mu m]}{\mathrm{V}}^{-1}$$

例如 $L=0.13\mu$m 时 $\theta \approx 1.6$ V${}^{-1}$。

跨导（对 $V_{GS}$ 求导）：

$$g_m=\frac{2K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}\left[1+\frac{\theta }{2}{V}_{GST}\right]}{{\left[1+\theta V_{GST}\right]}^2}$$

5.3 $R_S$ 等效：速度饱和 = 源极串联电阻

把 $\theta$ 模型改写成：

$$I_{DS}=\frac{K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2}{1+g_m{R}_S},R_S=\frac{\theta }{K^{\prime }\frac{W}{L}}\approx \frac{1}{W{C}_{ox}{v}_{sat}}$$

于是

$$g_m=\frac{g_{m0}}{1+g_m{R}_S}⟹\frac{1}{g_m}=\frac{1}{g_{m0}}+\frac{1}{g_{msat}}$$

其中 $g_{m0}=2K^{\prime }(W/L)V_{GST}$，$g_{msat}=1/R_S\approx W{C}_{ox}{v}_{sat}$。

设计含义：速度饱和等效为一个源极负反馈电阻，它降低 $g_m$、提高线性度、降低 $g_m/I_D$。这与源极退化（source degeneration）的电路效果完全同构。

5.4 强反型–速度饱和过渡

令平方律电流等于 vs 电流：

$$K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2=W{C}_{ox}{v}_{sat}{V}_{GST}$$

得

$$\boxed{V_{GSTvs}=\frac{C_{ox}{v}_{sat}}{K^{\prime }}L=\frac{2n{v}_{sat}}{\mu }L\approx 5L}$$

其中 $L$ 以 $\mu$m 计。例如 $L=0.13\mu$m：

$$V_{GSTvs}\approx 5\times 0.13=0.65\mathrm{V}$$

原文给出 0.62 V，差异来自 $n$ 与 $v_{sat}$ 的取整。

5.5 过渡电流

$$I_{DSvs}\approx K^{\prime }\frac{W}{L}{\left(\frac{2n{v}_{sat}L}{\mu }\right)}^2\approx \frac{100n{ϵ}_{ox}W{v}_{sat}^2}{\mu }$$

Sansen 给出单位宽度的量级：

$$\frac{I_{DSvs}}{W}\approx 10A/cm$$

数值例：$W=2.6\mu$m，$L=0.13\mu$m：

$$I_{DSvs}\approx 2.6\mathrm{mA}$$

5.6 $g_m$ 在 si 与 vs 之间的插值

$$\frac{1}{g_m}=\frac{1}{g_{m{K}^{\prime }}}+\frac{1}{g_{msat}}$$

Sansen 的数值拟合（$W/L$ 以 cm 计）：

$$g_m\approx \frac{17\times 10^{-5}W/L}{1+2.8\times 10^{4}L/V_{GST}}S/cm$$

判据：

• $V_{GST}=0.2$ V 时，$L<65$ nm 后速度饱和接管；
• $V_{GST}=0.5$ V 时，$L<0.15\mu$m 后速度饱和接管。

5.7 三区汇总表

区域	$I_{DS}$	$g_m$	$g_m/I_D$	$f_T$
wi	$I_{D0}\frac{W}{L}{e}^{V_{GST}/(n{U}_T)}$	$I_D/(n{U}_T)$	$1/(n{U}_T)$	$f_T/f_{TH}=i$
si	$K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$	$2K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}$	$2/V_{GST}$	$\propto V_{GST}/L^2$
vs	$W{C}_{ox}{v}_{sat}{V}_{GST}$	$W{C}_{ox}{v}_{sat}$	$1/V_{GST}$	$v_{sat}/(2\pi L)$

5.8 栅极漏电

Slide 0157 给出 0.1 $\mu$m 节点的栅极隧穿电流密度：

$$J_G\approx 4.5\times 10^5\exp \left(-\frac{L[\mathrm{nm}]}{6.5}\right)A/c{\mathrm{m}}^2$$

• $L=0.1\mu$m、$t_{ox}=2$ nm：$J_G\approx 4\times 10^{-2}$ A/cm${}^2$（按拟合式在 $L=100$ nm 时约 $9\times 10^{-2}$ A/cm${}^2$，与原文示例同量级）；
• $10\mu$m $\times$ $0.5\mu$m：$I_G\approx 2$ nA。

设计含义：栅漏电不是“直流无穷大”，在纳米节点它会成为低功耗电路的静态功耗与采样误差来源。

5.9 速度饱和的图表描述

Slide 0143：$I_{DS}$ 与 $g_m$ vs $V_{GS}$

• 低 $V_{GS}$：指数（wi）；中 $V_{GS}$：平方（si）；高 $V_{GS}$：线性（vs）。
• $g_m$ 对应三段：指数上升、线性上升、平台。

Slide 0144：$I_{DS}$ vs $V_{DS}$

• 线性区、饱和区、速度饱和区的边界；$V_{DSsat}=V_{GST}$；vs 区的饱和电压更低。
• 图中标注“square-law region”与“velocity saturation region”。

Slide 0151：$g_m/W$ vs $L$

• 双对数坐标；si 渐近 $g_m/W\approx 0.06V_{GST}/L^2$，vs 渐近 $g_m/W\approx 0.17/L$（$L$ 以 $\mu$m 计）；
• $V_{GST}=0.2$ V 与 0.5 V 两条曲线；交点即速度饱和接管点。

Slide 0152：$V_{GST}$ vs 年份

• 纵轴 $V_{GST}$（对数），横轴 1988–2008；标出 wi、si、vs 边界。
• 随 $V_{DD}$ 缩放，“clear si”窗口逐年变窄，设计越来越依赖 wi 与 vs 模型。

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6. 电容与 $f_T$（Slides 0159–0172）

6.1 电容网络

电容	表达式	说明
$C_{GS}$	$\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$	本征沟道电容；$L=L_{min}$ 时约 $2$ fF/$\mu$m 栅宽
$C_{GD}$	$W{C}_{gdo}$	栅-漏覆盖电容
$C_{SB}$	$C_{jSB0}/\sqrt{1+V_{SB}/{\varphi }_{jS}}$	源-衬底结电容
$C_{DB}$	$C_{jDB0}/\sqrt{1+V_{DB}/{\varphi }_{jD}}$	漏-衬底结电容

$$C_{ox}=\frac{{ϵ}_{ox}}{t_{ox}}\approx 5fF/\mu {\mathrm{m}}^2(t_{ox}\approx 7\mathrm{nm})$$

注意：Sansen 原文写 “$C_{ox}\approx 2$ fF/$\mu$m”，指的是单位栅宽的 $C_{ox}{L}_{min}$，不是单位面积。按 $t_{ox}=7$ nm 计算，单位面积 $C_{ox}\approx 5$ fF/$\mu$m${}^2$。

6.2 $f_T$ 推导

$$f_T=\frac{g_m}{2\pi C_{GS}}=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{3}{2n}\cdot \frac{\mu V_{GST}}{L^2}\approx \frac{\mu V_{GST}}{2\pi L^2}$$

速度饱和：

$$f_{Tsat}=\frac{v_{sat}}{2\pi L}$$

最大振荡频率：

$$f_{max}\approx \sqrt{\frac{f_T}{8\pi R_G{C}_{GD}}}$$

Sansen 幻灯片另给出含体-漏耦合的简化式 $f_m\approx f_T/\sqrt{1+{\alpha }_{BD}}$，其中 ${\alpha }_{BD}$ 为体-漏耦合比。

6.3 $f_T$ vs $L$

区域	条件	$f_T$	数值例（$L=0.1\mu$m）
si	$V_{GST}\ll 5L$	$\propto V_{GST}/L^2$	约 184 GHz（$V_{GST}=0.2$ V）
vs	$V_{GST}\gg 5L$	$v_{sat}/(2\pi L)$	约 159 GHz

Sansen 的经验拟合（$L$ 以 $\mu$m 计，$f_T$ 以 GHz 计）：

$$f_T\approx \frac{13.5}{L}\cdot \frac{1}{1+2.8L/V_{GST}}$$

6.4 $f_T$ vs 反型系数

$$\frac{f_T}{f_{TH}}=\sqrt{i}\left(1-e^{-\sqrt{i}}\right),f_{TH}=\frac{3\mu U_T}{2\pi L^2}$$

$i$	0.01	0.1	1	10	100
$f_T/f_{TH}$	0.00952	0.0858	0.632	3.03	10.0

设计含义：把 $i$ 从 10 降到 0.1，$g_m/I_D$ 提高约 2.8 倍，但 $f_T$ 下降约 35 倍。低功耗与高速的权衡可以用这一张表量化。

6.5 RF MOST 模型

Sansen 的 RF 模型在基本小信号模型上增加：

• 分布栅电阻：$R_G/3$；
• 分布栅电容：$C_G/5$；
• 漏-体、源-体结电容；
• 衬底网络。

6.6 单页 MOST 模型（Slide 0170）

参数	公式/数值
$I_{DS}$	$K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}^2$
$g_m$	$2K^{\prime }\frac{W}{L}{V}_{GST}=2\sqrt{K^{\prime }\frac{W}{L}{I}_{DS}}=\frac{2I_{DS}}{V_{GST}}$
$r_o$	$\frac{V_{E}L}{I_{DS}}$
$f_T$	$\frac{1}{2\pi }\frac{3}{2n}\frac{\mu V_{GST}}{L^2}$ 或 $\frac{v_{sat}}{2\pi L}$
$K_n^{\prime }$	$\approx 100\mu$A/V${}^2$
$K_p^{\prime }$	$\approx 40\mu$A/V${}^2$
$V_{En}$	4–5 V/$\mu$m
$V_{Ep}$	8 V/$\mu$m
$v_{sat}$	$10^7$ cm/s
典型偏置	$V_{GST}\approx 0.2$ V

6.7 模型 benchmark（Slide 0172）

Sansen 用 7 项测试评价一个 MOS 模型是否“可设计”：

1. 弱反型过渡：$I_{DS}$ 与 $g_m/I_{DS}$；
2. 速度饱和过渡：$I_{DS}$ 与 $g_m/I_{DS}$；
3. $V_{DSsat}$ 附近的输出电导；
4. $V_{DS}=0$ 附近电流与电容的连续性；
5. 热噪声与 1/f 噪声；
6. 高频输入阻抗 $s_{11}$ 与跨阻 $s_{21}$。

对设计的启示：手工设计只需要单页模型；但仿真模型必须在上述 7 个边界处连续，否则偏置扫描、失真分析与噪声仿真都会出现伪影。

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7. 双极型晶体管模型（Slides 0174–0182）

7.1 器件结构

Sansen 对比两种集成 BJT：

结构	截面	特点
NPN	n+ 发射极 / p 基区 / n 集电极 + 埋层	速度快、$\beta$ 高（50–500），模拟设计首选
横向 PNP	p+ 发射极 / n 基区 / p 集电极	基区宽度由光刻定义，$\beta$ 低（10–100），速度慢

NPN 的基区宽度 $W_B$ 由扩散/离子注入决定，可以做到很薄，因此 $a{u}_F$ 小、$f_T$ 高；横向 PNP 的基区宽度受横向扩散控制，较宽，$a{u}_F$ 大。

7.2 大信号模型

正向有源区：

$$I_{CE}=I_S\exp \left(\frac{V_{BE}}{U_T}\right)$$ $$I_{BE}=\frac{I_{CE}}{\beta },\beta =10\text{-}1000$$

典型值：$I_S\approx 10^{-15}$ A，$U_T=26$ mV（300 K），$V_{BE}\approx 0.7$ V。

关键观察：$V_{BE}$ 不能“随意”设置——低于 0.5 V 电流几乎为零，高于 0.8 V 电流急剧上升并可能损坏器件。0.7 V 是工艺与指数特性共同决定的“自然偏置点”。

7.3 小信号模型

$$g_m=\frac{\partial I_{CE}}{\partial V_{BE}}=\frac{I_{CE}}{U_T}$$ $$r_{\pi }=\frac{\beta }{g_m},r_o=\frac{V_E}{I_{CE}}$$

Sansen 给出：$V_{En}\approx 20$ V，$V_{Ep}\approx 10$ V。因此 $g_m\approx 40$ V${}^{-1}\cdot I_{CE}$，与电流严格成正比。

7.4 电容

发射结电容：

$$C_{jBE}=\frac{C_{jBE0}}{\sqrt{1+V_{BE}/{\varphi }_{jE}}},{\varphi }_{jE}\approx 0.7\mathrm{V}$$

扩散电容：

$$C_D={\tau }_F{g}_m,{\tau }_F=\frac{Q_B}{I_{CE}}=\frac{W_B^2}{2D_n}\text{或}\frac{W_B}{v_{sat}}$$ $$C_{\pi }=C_{jBE}+C_D$$

Sansen 给出 ${\tau }_F=10\text{-}200$ ps。基区越薄，${\tau }_F$ 越小，$f_T$ 越高。

集电结与衬底结电容：

$$C_{\mu }=C_{jBC}=\frac{C_{jBC0}}{\sqrt{1+V_{BC}/{\varphi }_{jC}}},C_{CS}=\frac{C_{jCS0}}{\sqrt{1+V_{CS}/{\varphi }_{jS}}}$$

${\varphi }_{jC}\approx {\varphi }_{jS}\approx 0.5$ V。

7.5 $f_T$ 与 $f_{max}$

$$f_T=\frac{g_m}{2\pi C_{\pi }}=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{{\tau }_F+\left(C_{jBE}+C_{\mu }\right)/g_m}\approx \frac{v_{sat}}{2\pi W_B}$$ $$f_{max}\approx \sqrt{\frac{f_T}{8\pi r_B{C}_{\mu }}}$$

关键结论：BJT 的 $f_T$ 由基区渡越时间与结电容充电共同决定；减薄基区、提高 $I_{CE}$ 都能提高 $f_T$，但 $I_{CE}$ 过大会引发高注入效应（Kirk 效应），$\beta$ 下降。

7.6 $f_T$ vs $I_{CE}$

由 $f_T$ 定义可得：

$$\frac{1}{2\pi f_T}={\tau }_F+\frac{\left(C_{jBE}+C_{\mu }\right)U_T}{I_{CE}}$$

• 低 $I_{CE}$：第二项主导，$f_T\propto I_{CE}$；
• 高 $I_{CE}$：${\tau }_F$ 主导，$f_T\to 1/(2\pi {\tau }_F)$ 饱和。

图表描述（Slide 0181）：横轴 $I_{CE}$（对数），纵轴 $f_T$；曲线先线性上升，后趋于平台；平台高度由 ${\tau }_F$ 决定；斜率为 $q/(2\pi (C_{jBE}+C_{\mu }))$。

7.7 单页 BJT 模型（Slide 0182）

参数	公式/数值
$I_{CE}$	$I_S\exp (V_{BE}/U_T)$
$g_m$	$I_{CE}/U_T\approx 40$ V${}^{-1}\cdot I_{CE}$
$r_o$	$V_E/I_{CE}$，$V_{En}\approx 20$ V，$V_{Ep}\approx 10$ V
$f_T$	$\frac{1}{2\pi }\frac{1}{{\tau }_F+(C_{jBE}+C_{\mu })/g_m}$
${\tau }_F$	$W_B^2/(2D_n)$ 或 $W_B/v_{sat}$，10–200 ps
$I_S$	$\approx 10^{-15}$ A
$U_T$	26 mV（300 K）

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8. MOST 与 Bipolar 对比（Slides 0184–0188）

8.1 总表

维度	MOST	Bipolar	结论
$g_m/I$	最大 $1/(n{U}_T)\approx 25\text{-}30$ V${}^{-1}$	$1/U_T\approx 38.5$ V${}^{-1}$	BJT 高 $n$ 倍
$V_{DSsat}$	$V_{GST}\approx 0.1\text{-}0.5$ V	$V_{CEsat}\approx$ 几个 $U_T$（0.1–0.2 V）	BJT 低压优势
本征增益	$2V_{E}L/V_{GST}$	$V_E/U_T\approx 770$	BJT 高一个量级
输入阻抗	极高	$r_{\pi }=\beta /g_m$	MOS 优势
输入电容	$C_{GS}=\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$ 较大	$C_{\pi }=C_{jBE}+{\tau }_F{g}_m$	视偏置
速度	$f_T\propto 1/L^2$ 或 $v_{sat}/L$	$f_T=1/[2\pi ({\tau }_F+C_{\pi }/g_m)]$	先进节点 MOS / SiGe HBT
噪声	沟道热噪声、1/f 较大	散粒噪声、1/f 较小	BJT 低 1/f
匹配	$A_{VT}/\sqrt{WL}$	$\Delta V_{BE}$、$\beta$	BJT 同面积更好
栅/基极电流	栅漏电（nm 节点）	$I_C/\beta$	MOS 理想为零
成本	CMOS 主流	需双极/BiCMOS	MOS 低

8.2 最低 $V_{DS}$

• MOS：$V_{DSsat}\approx V_{GST}$，由偏置决定，典型 0.1–0.5 V；
• BJT：$V_{CEsat}\approx$ 几个 $U_T$，约 0.1–0.2 V，由工艺与电流决定。

图表描述（Slide 0185）：左图 $I_{DS}$ vs $V_{DS}$，标出 $V_{DSsat}=V_{GST}$；右图 $I_{CE}$ vs $V_{CE}$，标出 $V_{CEsat}\approx$ 几个 $U_T$。两图并排说明：在相同电流下，BJT 的饱和压降更小，但 MOS 可以通过降低 $V_{GST}$ 进一步降低 $V_{DSsat}$。

8.3 $g_m/I$ 对比

图表描述（Slide 0186）：横轴电流（对数），纵轴 $g_m/I$。

• BJT：一条水平线 $1/U_T\approx 38.5$ V${}^{-1}$，与电流无关；
• MOS：弱反型段水平线 $1/(n{U}_T)$，强反型段 $2/V_{GST}$ 下降，速度饱和段 $1/V_{GST}$ 继续下降；
• 图中标注“4× $I_{DS}$”，强调在相同 $g_m$ 下 MOS 需要更大的电流；具体倍数取决于 $n$ 与偏置，不能直接当作 4 倍使用。

8.4 设计自由度

MOST 有四个变量 $W$、$L$、$V_{GST}$、$I_{DS}$，两个方程（$g_m$、$I_{DS}$），因此有两个自由变量。Sansen 的建议：

1. 先选 $V_{GST}$（决定 $g_m/I$ 与 $V_{DSsat}$）；
2. 再选 $L$（决定 $f_T$、$r_o$、匹配）；
3. 由 $I_{DS}=K^{\prime }(W/L)V_{GST}^2$ 算 $W$。

BJT 的 $g_m=I_C/U_T$ 把 $g_m$ 与 $I_C$ 锁死，$f_T$ 与 $r_o$ 由工艺和 $I_C$ 决定，设计自由度主要是 $I_C$ 与发射极面积。

8.5 渡越时间与速度

Sansen 在 Slide 0188 用渡越时间总结两类器件的速度：

器件	渡越时间	速度限制
MOST	$\tau \approx L/v_{sat}$	速度饱和；$L$ 越小越快
BJT	${\tau }_F=W_B^2/(2D_n)$ 或 $W_B/v_{sat}$	基区渡越；$W_B$ 越小越快

两者都可以写成“距离/速度”的形式，但 MOST 的距离是沟道长度，BJT 的距离是基区宽度。先进工艺把这两个距离都推向纳米尺度，因此两类器件的 $f_T$ 都在向数百 GHz 逼近。

8.6 选型结论

• 低电压、低 $V_{DSsat}$、高 $g_m/I$、低 1/f、高本征增益 → BJT/BiCMOS；
• 高输入阻抗、低栅极电流、高集成度、低成本、先进节点高速 → MOS；
• 同时要求高速与高增益 → SiGe HBT 或 MOS Cascode/增益提升；
• 精密匹配与低失调 → BJT 输入对（同面积下 $\Delta V_{BE}$ 匹配更好）。

详见 MOST与Bipolar晶体管模型对比。

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9. 图表全览（按幻灯片编号）

说明：本节按 Sansen 原讲义顺序列出所有图形/表格类幻灯片的结构化描述，供无法查看原 PDF 的读者复原信息。纯文字页（目录、参考文献）不重复列出。

9.1 工艺、版图与器件结构

Slide	图形	坐标/结构	关键数据点与趋势	设计含义
013	1994–2000 技术分布	纵轴 1–100 GHz；横轴 CMOS/BiCMOS/BIP/GaAs	CMOS 覆盖 2–10 GHz；BiCMOS 覆盖 2–40 GHz；BIP 1–2 GHz；GaAs 覆盖 10–100 GHz	按频率与成本选工艺
014	SIA roadmap 表	年份 1995–2010；$L_{min}$ 0.35→0.065 $\mu$m；晶体管 4M→90M；时钟 300→1100 MHz；布线 4–8 层	每代 $L$ 约 0.7×，集成度 2×	缩放驱动 $V_{DD}$ 与 $f_T$
015	Moore 定律	纵轴 $L$（对数），横轴 1980–2005	近似直线，1 $\mu$m→0.1 $\mu$m	长期指数缩放
016	ISSCC 2005 论文分布	横轴 350/250/180/130/90/65 nm；纵轴论文数 0–40	数字集中在 130–90 nm；模拟/RF 分布更宽	模拟设计寿命长于数字
017	MPW 成本	双对数；横轴 100–1000 nm；纵轴 100–10000 $/{\mathrm{mm}}^2$	65 nm 以下成本陡升	小批量评估成本
018	MOST 俯视版图	p 衬底、n+ 源/漏、多晶硅栅、$L$、$W_M$、覆盖	沟道由栅定义；源/漏扩散有横向扩散	版图决定 $L$、$W$、$C_{GD}$
019	MOST 剖面 $C_{ox}/C_D$	栅氧、沟道、耗尽层；$C_{ox}={ϵ}_{ox}/t_{ox}$，$C_D={ϵ}_{si}/t_{si}$	$C_D=(n-1)C_{ox}$	体效应与亚阈值斜率
0110	$C_{ox}/C_D$ 数值例	$L=0.35\mu$m，$W/L=8$，$t_{ox}=7$ nm，$V_{BD}=-3.3$ V	$C_{ox}\approx 5\times 10^{-7}$ F/cm${}^2$；$C_D\approx 10^{-7}$ F/cm${}^2$；$n\approx 1.2$	0.35 $\mu$m 典型参数
0111	N-well CMOS 剖面	PMOS 在 N 阱，NMOS 在 p 衬底；多晶硅栅、薄栅氧	PMOS body 可独立；NMOS body 接最低电位	体效应与闩锁
0159	MOST 电容剖面	栅-沟道、栅-漏覆盖、源/漏-衬底结	$C_{GS}$、$C_{GD}$、$C_{SB}$、$C_{DB}$	高频与开关误差
0168	结电容小信号模型	$C_{SB}$、$C_{DB}$ 接衬底；电压依赖	${\varphi }_j\approx 0.5\text{-}0.7$ V	漏端摆幅影响电容
0169	RF MOST 模型	分布栅 $R_G/3$、$C_G/5$；$r_{DS}$、$g_m$、结电容	栅极分布效应	$f_{max}$ 与 LNA
0174	NPN 与横向 PNP 剖面	NPN：n+/p/n+ 埋层；PNP：p+/n/p	NPN $\beta$ 50–500；PNP $\beta$ 10–100	模拟首选 NPN

9.2 MOST 大信号与小信号

Slide	图形	坐标/结构	关键数据点与趋势	设计含义
0112	$I_{DS}$ vs $V_{GS}$ 与 $V_{DS}$ 族	横轴 $V_{DS}$；纵轴 $I_{DS}$；多条 $V_{GS}$ 曲线	线性区→饱和区；$V_{DSsat}=V_{GST}$	饱和区用于放大
0114	$I_{DS}$ vs $V_{DS}$	线性电阻区、饱和区；$R_{on}$ 斜率	$V_{DS}\ll V_{GST}$ 时 $R_{on}=1/[KP(W/L)V_{GST}]$	模拟开关
0115	参数表	$\beta =KPW/L$；$KP=\mu C_{ox}$；$t_{ox}=L_{min}/50$	$C_{ox}\approx 5\times 10^{-7}$ F/cm${}^2$；$K{P}_n\approx 300\mu$A/V${}^2$；${\mu }_n\approx 600$ cm${}^2$/V·s	0.35 $\mu$m 参数
0116	开关驱动 $C_L$	NMOS、$V_{DD}$、$C_L=4$ pF	$\tau =0.5$ ns → $R_{on}=125\Omega$	由 $\tau /C_L$ 定 $R_{on}$
0117	开关驱动 $R_L$	NMOS、$R_L=5$ k$\Omega$、$W/L=8$	$R_{on}=125\Omega$；衰减约 2.4%	开关增益误差
0118	体效应/寄生 JFET	剖面：源-衬底反偏、耗尽层	$V_T=V_{T0}+\gamma (\sqrt{2{\Phi }_F+V_{BS}}-\sqrt{2{\Phi }_F})$；$n=1.2\text{-}1.5$	$V_{BS}$ 调 $V_T$
0119	带 $V_{BS}$ 的开关	同 0116/0117，$\gamma =0.5$ V${}^{-1}$	$V_T$ 随 $V_{BS}$ 上升；$R_{on}$ 增大	传输门需互补
0121	$I_{DS}$ vs $V_{GS}$（log/linear）	纵轴 $I_{DS}$ 对数；wi 直线、si 平方	斜率 $q/(nkT)$；$K_n^{\prime }\approx 100\mu$A/V${}^2$，$K_p^{\prime }\approx 40$	wi/si 分界
0122	$g_m/r_{DS}$ 小信号模型	栅-源 $v_{GS}$；漏-源 $g_m{v}_{GS}$、$r_{DS}$	$g_m=2K^{\prime }(W/L)V_{GST}=2\sqrt{K^{\prime }(W/L)I_{DS}}$	单管增益
0123	$g_m$ 与 $I_{DS}$ 关系提问	文字页	$g_m\propto \sqrt{I_{DS}}$（si）或 $\propto I_{DS}$（wi）	偏置选择
0124	$r_{DS}$ 与 Early 电压	横轴 $V_{DS}$；纵轴 $I_{DS}$；外推交于 $-V_{E}L$	$r_o=V_{E}L/I_{DS}$；例 40 k$\Omega$	本征增益
0125	单管放大器	NMOS + 电流源；$v_{in}$、$v_{out}$	$A_v=g_m{r}_o=2V_{E}L/V_{GST}$；$V_{E}L=10$ V、$V_{GST}=0.2$ V → 100	增益设计
0126	高增益 vs 高速	纵轴 $g_m/I_D$；横轴 $V_{GST}$ 与 $L$	高增益：大 $L$、小 $V_{GST}$；高速：小 $L$、大 $V_{GST}$	折中
0127	三级放大器例题	三级单管级联；总增益 10,000	每级 21.5；65 nm、$V_E=4$ V/$\mu$m、$V_{GST}=0.2$ V → $L\approx 0.54\mu$m	增益预算
0128	pMOST 小信号模型	源在上、漏在下；$g_m{v}_{GS}$ 方向	符号与 nMOS 相反	pMOS 设计易错点
0129	$g_m$ 与 $g_{mb}$	栅-源、衬底-源两个控制源	$g_{mb}=(C_D/C_{ox})g_m=(n-1)g_m$	体效应跨导

9.3 反型区与速度饱和

Slide	图形	坐标/结构	关键数据点与趋势	设计含义
0131	wi 的 $I_{DS}$ 与 $g_m$	纵轴对数 $I_{DS}$；横轴 $V_{GS}$	$I_{DSwi}=I_{D0}(W/L)e^{V_{GS}/(n{U}_T)}$；$g_{mwi}=I_D/(n{U}_T)$	最大 $g_m/I_D$
0132	$g_m$ vs $V_{GS}$ 三区	纵轴 0–6 mS；横轴 0–1.5 V	wi 指数、si 线性、vs 平台；$g_{msat}=W{C}_{ox}{v}_{sat}$	偏置图谱
0133	wi-si 过渡	两条 $g_m/I_D$ 渐近线交点	$V_{GSt}-V_T=2n{U}_T$	过渡与 $L$ 无关
0134	过渡电压 vs $L$	横轴 $L$；纵轴 $V_{GSt}-V_T$	恒约 70 mV；$I_{DSt}\approx 2\mu$A（$W/L=10$，原文）	尺度不变
0135	$\log I_{DS}$ vs $V_{GS}$	对数纵轴；wi 直线、si 曲线	交于 $V_T+70$ mV，对应 $I_{DSt}$	提取 $V_T$ 与 $n$
0136	$g_m/I_D$ vs $I_D$	双对数；横轴 $I_D$	低电流 $1/(n{U}_T)$；高电流 $2/V_{GST}$；标注 4× $I_{DS}$	电流预算
0137	EKV 插值	$I_{DS}$ vs $V_{GST}$；小 $v$ 指数、大 $v$ 平方	$[\ln (1+e^v){]}^2$	连续模型
0138	反型系数	$i=I_{DS}/I_{DSt}$；$V_{GST}=2n{U}_T\ln (e^{\sqrt{i}}-1)$	$i=1$ 时 $V_{GST}=0$	设计变量
0139	$V_{GST}$ vs $i$	横轴 $i$ 对数 0.01–100；纵轴 -200–500 mV	$i<1$ 负；$i=1$ 零；$i>10$ 对数上升	区域划分
0140	$GM$ 公式	$GM=(g_m/I_D)n{U}_T$	精确 $(1-e^{-\sqrt{i}})/\sqrt{i}$；拟合 $1/(1+0.5\sqrt{i}+\sqrt{i})$	手算
0141	$GM$ vs $i$	双对数；$GM$ 1→0.1	三条曲线在中等 $i$ 差异最大	精度评估
0143	vs 的 $I_{DS}$ 与 $g_m$	纵轴 $I_{DS}$/$g_m$；横轴 $V_{GS}$	$I_{DSvs}=W{C}_{ox}{v}_{sat}{V}_{GST}$；$g_{msat}=W{C}_{ox}{v}_{sat}$	最大 $g_m$
0144	饱和区与 vs	$I_{DS}$ vs $V_{DS}$；标 $V_{DSsat}=V_{GST}$	平方律区、vs 区；vs 饱和电压更低	输出特性
0145	$g_m$ vs $V_{GS}$（含 vs）	0–6 mS；标 $V_T$、0.2 V、0.5 V	平台高度 $g_{msat}$	偏置上限
0146	$\theta$ 模型	公式与 $\theta L\approx 0.2\mu$m/V	$L=0.13\mu$m → $\theta \approx 1.6$ V${}^{-1}$	平滑过渡
0147	$R_S$ 等效	$\theta$ 模型 → 串联 $R_S$	$R_S=\theta /(K^{\prime }W/L)\approx 1/(W{C}_{ox}{v}_{sat})$	源极退化同构
0148	si-vs 过渡	平方律=vs 电流	$V_{GSTvs}\approx 5L$；$L=0.13\mu$m → 0.62 V	接管点
0149	过渡电流	$I_{DSvs}$ 公式与数值	$I_{DSvs}/W\approx 10$ A/cm；$W=2.6\mu$m → 2.6 mA	电流上限
0150	$g_m$ 插值	$1/g_m=1/g_{m{K}^{\prime }}+1/g_{msat}$	0.2 V 时 $L<65$ nm 接管；0.5 V 时 $L<0.15\mu$m	手算 $g_m$
0151	$g_m/W$ vs $L$	双对数；si $0.06V_{GST}/L^2$，vs $0.17/L$	两条件 $V_{GST}=0.2/0.5$ V	尺寸选择
0152	$V_{GST}$ vs 年份	纵轴对数；1988–2008	wi/si/vs 边界；“clear si”窗口变窄	工艺趋势
0153	si 工作区	$g_m$ vs $V_{GS}$	0.2 V 与 0.5 V 两个典型偏置	设计点
0154	不同 $L$ 的 $g_m$	同一 $t_{ox}$；$W/L$=ct 或 $W$=ct	长 $L$ 的 $g_m$ 低；vs 接管点右移	习题
0155	不同 $t_{ox}$ 的 $g_m$	$L_{min}$ 大/小	小 $L_{min}$ 的 $g_m$ 高，但 vs 更早	习题
0156	三区汇总表	wi/si/vs 的 $I_{DS}$、$g_m$、$g_m/I_D$	见 §5.7	速查
0157	栅极漏电	纵轴 $J_G$（A/cm${}^2$，对数）；横轴 $L$	$J_G\approx 4.5\times 10^5{e}^{-L/6.5}$；0.1 $\mu$m、2 nm → $4\times 10^{-2}$ A/cm${}^2$	纳米节点功耗

9.4 电容、$f_T$、BJT 与对比

Slide	图形	坐标/结构	关键数据点与趋势	设计含义
0160	$C_{GS}/C_{GD}$ 模型	栅-源、栅-漏电容；$r_G$	$C_{GS}\approx \frac{2}{3}WL{C}_{ox}$；$C_{GD}=W{C}_{gdo}$	高频
0161	$f_T$ 定义	$i_{GS}=v_{GS}s{C}_{GS}$、$i_{DS}=g_m{v}_{GS}$	$f_T=g_m/(2\pi C_{GS})$；$f_{Tsat}=v_{sat}/(2\pi L)$	速度指标
0162	高速设计	$L$ 与 $V_{GST}$ 折中	小 $L$、大 $V_{GST}$	偏置
0163	$f_T$ vs $L$	双对数；$f_T$、$f_{Tsat}$、$f_m$	si $\propto 1/L^2$；vs $\propto 1/L$；$V_{GST}=0.2/0.5/1$ V	工艺选择
0164	$f_T$ 经验模型	$13.5/L/(1+2.8L/V_{GST})$ GHz	0.2 V 时 $L<65$ nm 进入 vs；0.5 V 时 $L<0.15\mu$m	手算
0165	$f_T$ 与 wi	$f_T/f_{TH}=\sqrt{i}(1-e^{-\sqrt{i}})$	$f_{TH}=3\mu U_T/(2\pi L^2)$	低功耗
0166	$f_T$ vs $i$	$i$ 0.01–100；$f_T/f_{TH}$ 与 $GM$	小 $i$ 线性，大 $i$ 平方根	折中
0167	$f_T$ 习题	$W$=ct、$I_D$=ct、$V_{GST}$=ct	三种约束下的 $f_T$ 标度不同	设计选择
0170	单页 MOST 模型	公式与典型值表	见 §6.6	速查
0171	参数增长	BSIM4、Model 11、EKV 链接	模型参数从几十到数百	仿真 vs 手算
0172	Benchmark	7 项测试	见 §6.7	模型验收
0175	$I_{CE}$ vs $V_{BE}$	纵轴对数 $I_{CE}$；横轴 $V_{BE}$	指数；$V_{BE}\approx 0.7$ V；$\beta =10\text{-}1000$；$I_S\approx 10^{-15}$ A	BJT 偏置
0176	$g_m/r_o$ 模型	基-射 $v_{BE}$；$g_m{v}_{BE}$、$r_o$、$r_{\pi }$	$g_m=I_{CE}/U_T$；$r_o=V_E/I_{CE}$；$V_{En}\approx 20$ V	增益
0177	$C_{\pi }$	$C_{jBE}+C_D$；电压依赖	${\varphi }_{jE}\approx 0.7$ V	输入电容
0178	$C_D$	$C_D={\tau }_F{g}_m$；${\tau }_F=W_B^2/(2D_n)$	${\tau }_F=10\text{-}200$ ps	速度
0179	$C_{\mu }/C_{CS}$	集电结、衬底结	${\varphi }_{jC}\approx {\varphi }_{jS}\approx 0.5$ V	反馈电容
0180	$f_T$ 与 $f_{max}$	$f_T=1/[2\pi ({\tau }_F+C_{\pi }/g_m)]$	$f_{max}=\sqrt{f_T/(8\pi r_B{C}_{\mu })}$	高速
0181	$f_T$ vs $I_{CE}$	纵轴 $f_T$；横轴 $I_{CE}$ 对数	低电流 $\propto I_{CE}$；高电流平台 $1/(2\pi {\tau }_F)$	偏置选择
0182	单页 BJT 模型	公式与典型值表	见 §7.7	速查
0184	MOST vs Bipolar 表	参数对比	见 §8.1	选型
0185	最低 $V_{DS}$	$I_{DS}$-$V_{DS}$ 与 $I_{CE}$-$V_{CE}$ 并排	$V_{DSsat}=V_{GST}$；$V_{CEsat}\approx$ 几个 $U_T$	低压
0186	$g_m/I$ vs 电流	双对数；BJT 水平线、MOS 分段下降	BJT $1/U_T$；MOS $1/(n{U}_T)$→$2/V_{GST}$→$1/V_{GST}$	跨导效率
0187	$g_m$ 设计计划	4 变量、2 方程	选 $V_{GST}$ 与 $L$，算 $W$	设计流程
0188	渡越时间对比	$\tau =L/v_{sat}$ vs ${\tau }_F=W_B/v_{sat}$	两者的速度都由“距离/速度”决定	工艺选择

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10. 设计例题与数值校核

10.1 模拟开关（$C_L$）

题目：把 0.6 V 传到 $C_L=4$ pF，要求 $\tau =0.5$ ns；$V_{DD}=2.5$ V，$V_T=0.5$ V，0.35 $\mu$m CMOS，$L=L_{min}$。

解：

$$R_{on}=\frac{\tau }{C_L}=125\Omega$$

取 $K^{\prime }=100\mu$A/V${}^2$，平均 $V_{GST}\approx 2$ V：

$$\frac{W}{L}=\frac{1}{2K^{\prime }{V}_{GST}{R}_{on}}=\frac{1}{2\times 100\times 10^{-6}\times 2\times 125}=20$$

$L=0.35\mu$m 时 $W=7\mu$m。若 $V_{GS}$ 随输出下降而减小，$R_{on}$ 会增大，需用传输门或自举栅压。

10.2 模拟开关（$R_L$）

题目：$R_L=5$ k$\Omega$，$W/L=8$，$R_{on}=125\Omega$。

$$\frac{v_{OUT}}{v_{IN}}=\frac{5000}{5125}=0.976$$

增益误差约 2.4%。若 $V_{BS}\ne 0$，$V_T$ 上升、$R_{on}$ 增大，误差进一步恶化。

10.3 三级放大器

题目：三级单管级联，总增益 10,000，65 nm CMOS，$V_E=4$ V/$\mu$m，$V_{GST}=0.2$ V。

解：每级增益 $21.5$，

$$L=\frac{21.5\times 0.2}{2\times 4}=0.54\mu m$$

虽然工艺最小 $L=65$ nm，但为了增益必须把 $L$ 加到约 0.54 $\mu$m。这是“速度换增益”的典型例子。

10.4 过渡电流的数值校核

原文：$W/L=10$，$V_{GSTt}=70$ mV，$I_{DSt}\approx 2\mu$A。

按 $K_n^{\prime }=100\mu$A/V${}^2$ 重算：

$$I_{DSt}=100\times 10^{-6}\times 10\times (0.07{)}^2=4.9\mu A$$

差异约 2.5×。可能原因：原文使用了更小的 $K^{\prime }$（如 pMOS 的 40 $\mu$A/V${}^2$）或不同的 $W/L$ 定义。结论：公式可信，数值示例只作量级参考。

10.5 $f_T$ 的数值校核

$L=0.1\mu$m，$\mu =500$ cm${}^2$/V·s，$V_{GST}=0.2$ V，$n=1.3$：

$$f_T=\frac{3\times 500\times 0.2}{4\pi \times 1.3\times (10^{-5}{)}^2}\approx 1.84\times 10^{11}\mathrm{Hz}$$ $$f_{Tsat}=\frac{10^7}{2\pi \times 10^{-5}}\approx 1.59\times 10^{11}\mathrm{Hz}$$

取小者约 159 GHz。若直接用简化式 $\mu V_{GST}/(2\pi L^2)$，得到约 159 GHz，恰好与 $f_{Tsat}$ 一致。

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11. 与现有知识库的衔接

11.1 本章新增的“设计导向”内容

主题	已有页面	本章补充
MOS 平方律、体效应	MOS晶体管模型与特性	Sansen 的 $K^{\prime }$ 约定、$g_{mb}=(n-1)g_m$、单管增益 $2V_{E}L/V_{GST}$
短沟道、弱反型	短沟道效应与弱反型	$V_{GSTt}=2n{U}_T$、EKV 插值、$GM$ 拟合、$V_{GSTvs}\approx 5L$
反型系数	MOS反型系数与EKV模型（新建）	统一 $i$、$IC$ 定义与设计三步法
$f_T$、电容	MOS晶体管频率特性与f_T（新建）	三段式 $f_T$、$f_T/f_{TH}$、RF 模型、栅漏电
BJT 小信号	双极晶体管小信号模型	$a{u}_F$、$f_T$ vs $I_{CE}$、$f_{max}$、单页模型
BJT 大信号	双极晶体管大信号特性	$I_{CE}=I_S{e}^{V_{BE}/U_T}$、$V_{CEsat}$、$\beta$ 范围
器件对比	MOST与Bipolar晶体管模型对比（新建）	$g_m/I$、本征增益、$V_{DSsat}$、设计自由度

11.2 与其他教材的差异

教材	侧重点	与 Sansen Ch.1 的差异
Gray	平方律、体效应、Hybrid-π 的严谨推导	Sansen 更强调 $g_m/I_D$ 与三区连续模型
Razavi	平方律 + 短沟道效应的直观解释	Sansen 给出 EKV 与反型系数的定量设计表
Allen	速度饱和的设计公式	Sansen 把速度饱和与 wi/si 统一到 $g_m/I_D$ 曲线
Binkley	用 $IC$ 做系统优化	Sansen 提供更紧凑的 $GM$ 拟合与 $f_T/f_{TH}$
Martin	双极型 GP 模型与 SPICE 参数	Sansen 只保留手算所需的单页模型

11.3 学习路径

1. 先读 MOS晶体管模型与特性 建立平方律与体效应直觉；
2. 再读本章 §4–§5，理解 wi/si/vs 三区与 $g_m/I_D$；
3. 用 MOS反型系数与EKV模型 做偏置设计；
4. 用 MOS晶体管频率特性与f_T 做速度预算；
5. 最后读 MOST与Bipolar晶体管模型对比 做工艺选型；
6. BJT 细节回到 双极晶体管小信号模型 与 双极晶体管大信号特性。

11.4 覆盖度自检

类别	数量	覆盖情况
讲义页	90	全文阅读，正文按器件/小信号/三区/速度/电容/BJT/对比七部分覆盖
图形/表格页	79	§9 按 Slide 编号逐条给出坐标、数据点、趋势与设计含义
关键公式	60+	全部转为 KaTeX；本页与关联页共 2000+ 条公式通过 KaTeX 0 error 检查
设计例题	5	§10 给出开关 $C_L$/$R_L$、三级放大器、过渡电流、$f_T$ 的数值校核
电路图	6	Analog Canvas circuit-project：开关×2、共源级、MOST 小信号、BJT Hybrid-π、RF MOST
参考文献	10	§12 列出原书、EKV 原始文献与对比教材

Analog Canvas 工程清单（均为 schemaVersion: 60，JSON + 桥渲染 SVG）：

工程 slug	内容	文件
c-sansen-ch1-switch-cl	NMOS 开关驱动 $C_L$	assets/circuits/c-sansen-ch1-switch-cl.icproj.json / .svg
c-sansen-ch1-switch-rl	NMOS 开关驱动 $R_L$	assets/circuits/c-sansen-ch1-switch-rl.icproj.json / .svg
c-sansen-ch1-cs-amp	共源级 + 电流源偏置	assets/circuits/c-sansen-ch1-cs-amp.icproj.json / .svg
c-sansen-ch1-mos-ss	NMOS 小信号模型	assets/circuits/c-sansen-ch1-mos-ss.icproj.json / .svg
c-sansen-ch1-bjt-ss	BJT Hybrid-π 模型	assets/circuits/c-sansen-ch1-bjt-ss.icproj.json / .svg
c-sansen-ch1-rf-mos	RF MOST 模型	assets/circuits/c-sansen-ch1-rf-mos.icproj.json / .svg

工具链说明：ingest-audit.bat 的 gen-digest 仅处理 .md 章节文件，而本书为 PDF + .txt 提取稿；直接运行得到 0/0。将 Chapter_01.txt 临时转为 .md 后可生成 961 字符 digest（4.58% 预算），但 PDF 文本缺少 Markdown 标题层级，digest 的小节骨架不可靠。因此本章采用全文 90 页 + 逐图核对的方式验收，覆盖度以本表与 §9 的逐条图表描述为准。

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12. 参考文献

1. W. Sansen, Analog Design Essentials, Springer, 2006, Chapter 1.
2. K. Laker, W. Sansen, Design of Analog Integrated Circuits and Systems, McGraw-Hill, 1994, Table 1-4, Table 2-8.
3. C. C. Enz, F. Krummenacher, E. A. Vittoz, “An Analytical MOS Transistor Model Valid in All Regions of Operation and Dedicated to Low-Voltage and Low-Current Applications,” Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 8, pp. 83–114, 1995.
4. J. C. Cunha et al., “A Current-Based MOSFET Model for Integrated Circuit Design,” IEEE JSSC, Oct. 1998, pp. 1510–1519.
5. Y. Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor, 2nd ed., McGraw-Hill, 2004.
6. Y. Taur, T. Ning, Fundamentals of Modern VLSI Devices, Cambridge University Press, 1998.
7. P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 5th ed., Wiley, 2009.
8. B. Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits, McGraw-Hill, 2001.
9. P. Allen, D. Holberg, CMOS Analog Circuit Design, 2nd ed., Oxford University Press, 2002.
10. D. M. Binkley, Tradeoffs and Optimization in Analog CMOS Design, Wiley, 2008.

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双向链接

本文链接到

• Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 — 全书导航
• Willy Sansen — 作者
• Christian Enz — EKV 模型
• MOS晶体管模型与特性 — 平方律/体效应
• 短沟道效应与弱反型 — wi/vs
• MOS反型系数与EKV模型 — $i$ 与 $GM$
• MOS晶体管频率特性与f_T — 电容与速度
• 双极晶体管大信号特性 — $I_{CE}$/$V_{CEsat}$
• 双极晶体管小信号模型 — $g_m$/$r_{\pi }$/$C_{\pi }$
• 采样开关与跟踪保持电路 — $R_{on}$/体效应
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — 选型
• Binkley Ch3 — MOS性能与反型系数（上） — $IC$ 优化

链接到本文

• Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 — Ch.1 详解
• Willy Sansen — 代表著作
• MOS反型系数与EKV模型 — 来源
• MOS晶体管频率特性与f_T — 来源
• MOST与Bipolar晶体管模型对比 — 来源
• 采样开关与跟踪保持电路 — 设计例题
• 双极晶体管小信号模型 — $f_T$/${\tau }_F$
• 双极晶体管大信号特性 — $V_{CEsat}$