二极管基准零温度系数条件

用途：给定工艺的 $V_{BE}(T_r)$、$V_{go}$、$\eta$，确定一阶零温度系数所需的 PTAT 配比与残余曲率。 输入：$V_{BE}(T_r)$、$V_{go}$、$\eta$、偏置温度指数 $x$、目标温区。 输出：所需 PTAT 增益 $K$、偏置电流指数要求、残差量级、验证计划。

结论先行

量	结果	条件
PTAT 偏置下 $V_{BE}$ 的温度系数	−1.99 mV/K	$x=1$，$\eta =4$，$V_{BE}(300\mathrm{K})=0.65\mathrm{V}$
单靠二极管实现零 TC 所需指数	$x\approx 24.1$	同上
一阶补偿所需 PTAT 增益	$K\approx 23.1$	同上
一阶补偿后盒式温度系数	$\approx 18.5$ ppm/K	−40…125 °C，未含工艺离散

适用与不适用

适用：双极或 CMOS 寄生 pnp 构成的 PTAT+CTAT 一阶补偿；需要在设计前估算配比与曲率量级的场合。

不适用：目标优于 5 ppm/K（须做曲率校正，见 低压曲率校正带隙基准）；强反型 MOS 阈值基准（初始精度仅 ±15–20%，不满足高精度前提）。

一、VBE 的温度系数从哪来

原文以参考温度 $T_r$ 表示二极管电压 Rincon-Mora Voltage References 深度解析：

$$V_{BE}=V_{go}-\frac{T}{T_r}\left[V_{go}-V_{BE}(T_r)\right]-(\eta -x)V_T\ln \left(\frac{T}{T_r}\right)$$

适用条件：$I_C=D{T}^x$、忽略 Early 效应、以 $T_r$ 为展开点。对温度求导并令 $T=T_r$：

$$T{C}_{VBE}(T_r)=-\frac{V_{go}-V_{BE}(T_r)}{T_r}-(\eta -x)\frac{k}{q}$$

取 $V_{go}=1.17\mathrm{V}$、$V_{BE}(300\mathrm{K})=0.65\mathrm{V}$、$\eta =4$、$x=1$（PTAT 偏置），得 $T{C}_{VBE}\approx -1.99mV/K$。这与教科书常引的 −2.2 mV/°C 同量级；差异来自偏置指数与工艺常数取值不同。

二、为什么二极管本身做不到零温度系数

令一阶导数为零，解出所需的偏置温度指数：

$$x=\eta +\frac{V_{go}-V_{BE}(T_r)}{T_r(k/q)}\approx 4+\frac{1.733mV/K}{0.08617mV/K}\approx 24.1$$

即偏置电流须按 $T^{24}$ 变化。工程上无法实现（PTAT 只给 $x=1$，温度无关偏置给 $x=0$）。结论：正向二极管单独不能做零 TC 基准，必须叠加一个与温度成正比的电压来抵消负温度系数。 这就是带隙基准的由来，而不是一个可选的“优化技巧”。

三、一阶配比 K 与残余曲率

叠加 $K{V}_T$ 后：

$$\frac{\partial V_{\mathrm{REF}}}{\partial T}=T{C}_{VBE}+K\frac{k}{q}=0\Rightarrow K=\frac{1.992}{0.08617}\approx 23.1$$

用 $K=23.1$ 代入 $-40$、$27$、$125$ °C 三点，可复算残差：

温度	$V_{BE}$	$K{V}_T$	$V_{\mathrm{REF}}$	相对 300 K 偏差
−40 °C	0.7811 V	0.4643 V	1.2455 V	−2.09 mV
27 °C	0.6497 V	0.5977 V	1.2476 V	0（基准点）
125 °C	0.4507 V	0.7928 V	1.2438 V	−3.76 mV

盒式温度系数 $=(V_{\max }-V_{\min })/(V_{\mathrm{nom}}\Delta T)=3.8\mathrm{mV}/(1.2476\mathrm{V}\times 165\mathrm{K})\approx 18.5$ ppm/K。

残差不是线性的，来源是被一阶补偿“剩下”的 $T\ln (T/T_r)$ 项。偏置每偏离 1 个指数单位，$T{C}_{VBE}$ 变化 $k/q\approx 86.2\mu V/K$，对应 $K$ 偏差约 1；这是温漂曲线呈抛物线的直接原因。

四、设计规则

1. 先算 TC，再选拓扑：由工艺给出 $V_{BE}(T_r)$、$V_{go}$、$\eta$，按上式得 $T{C}_{VBE}$；TC 为负才需要 PTAT 叠加。
2. 由 TC 定 K：$K=-T{C}_{VBE}/(k/q)$。本例 $K=23.1$；若偏置为温度无关（$x=0$），$K=24.1$。
3. 把 K 落到电路：$\Delta V_{BE}=V_T\ln N$，放大 $M$ 倍后 $K=M\ln N$。取 $N=8$（$\ln 8=2.079$），则 $M=23.1/2.079\approx 11.1$。
4. 检查曲率是否够用：一阶补偿后残差约十几 ppm/K；要更低必须加曲率项，不能靠调 $K$。
5. 留出 trim 余量：$V_{BE}$ 的批次离散为 ±2–5%，是初始误差的主项，不是温漂项。

五、数值算例（可复算）

• 已知：$V_{go}=1.17\mathrm{V}$，$V_{BE}(300\mathrm{K})=0.65\mathrm{V}$，$\eta =4$，$x=1$。
• 线性项：$(1.17-0.65)/300=1.733mV/K$。
• 对数项在 $T_r$ 处的斜率：$(\eta -x)k/q=3\times 0.08617=0.2585mV/K$。
• 合计 $TC=-1.992mV/K$；$K=1.992/0.08617=23.1$。
• 若 $N=8$，$M=23.1/\ln 8=11.1$；即 PTAT 支路需把 $V_T\ln 8$ 放大 11.1 倍。

六、验证计划（待验证）

项	内容
testbench	NPN 1:8 对产生 $\Delta V_{BE}$，经电阻/运放放大后与 $V_{BE}$ 相加，理想缓冲输出
分析类型	dc 温度扫描（−40…125 °C）、tran 启动、noise（可选）
工艺角	TT / FF / SS / FS / SF，各角重复温度扫描
通过判据	TT 盒式 TC < 25 ppm/K；全 corner < 60 ppm/K；启动无简并态

本页结论均为推演（derived），尚无仿真或实测数据支撑，状态保持 draft。

七、失效模式

现象	根因	排查顺序
温漂曲线呈抛物线	一阶未对准，$K$ 偏差	先查 $M\ln N$ 实际值，再查 $V_{BE}$ 测量条件
室温准、高低温翘	曲率未补偿	确认是否只剩 $T\ln T$ 项；必要时加曲率支路
批次间初始偏差大	$V_{BE}$ 离散 ±2–5%	检查是否需要 trim；与温漂分开评估
高低温电流失配	PTAT 支路运放失调、电阻匹配	查运放失调与电阻版图匹配

原文表 1.1 的 CMOS 简单电流镜表达式存疑（rmvr-ch01-012，status: disputed），本页不引用该式；该章的电流镜设计结论待单独建页。

八、证据与溯源

断言	类型	内容
rmvr-ch01-001	定义	TC 定义
rmvr-ch01-002	公式	总精度分解
rmvr-ch01-003	公式	二极管正向 I–V
rmvr-ch01-004	公式	热电压
rmvr-ch01-005	结论	齐纳/雪崩 TC 符号相反
rmvr-ch01-006	公式	正向二极管输出电阻
rmvr-ch01-007	公式	$V_D(T)$ 以 $T_r$ 表示
rmvr-ch01-008	公式	$V_{BE}$ 泰勒展开
rmvr-ch01-009	数值	典型 −2.2 mV/°C
rmvr-ch01-010	公式	沟道长度调制
rmvr-ch01-011	公式	双极镜基极电流误差
rmvr-ch01-012	表格	简单/共源共栅镜对比（存疑）
rmvr-ch01-016	公式	饱和电流温度依赖
rmvr-ch01-017	公式	$V_{BE}(T)$ 最终形式
rmvr-ch01-018	公式	二阶展开形式
rmvr-ch01-019	数值	$\eta$ 取 3.6–4
rmvr-ch01-020	推演	零 TC 所需 $x\approx 24.1$
rmvr-ch01-021	推演	$K\approx 23.1$
rmvr-ch01-022	推演	残差 18.5 ppm/K
rmvr-ch01-023	推演	灵敏度 86.2 µV/K

同一章另有 3 条断言属于电流镜尺寸设计，未在本页使用，排入下一张“低电压共源共栅电流镜设计卡”。

参考

• Rincon-Mora Voltage References 深度解析 §1.1.2、App. A.1（原文式 1.6、A.1.13、A.1.18）
• 带隙基准设计、基准源知识地图
• 契约：schema/knowledge-org/claims.schema.json；账本：claims/rincon-mora-vr/ch01-the-basics.claims.json